Reproducción de Benchmarks DInf-Grid en 10 Pasos

Cuando las gráficas de convergencia y las curvas de Pareto no coinciden entre artículos, casi siempre es un problema de protocolo, no un avance del modelo. El protocolo DInf-Grid aborda esto de frente estandarizando escaleras de refinamiento, normas de error e informes de costo entre solucionadores clásicos y aprendidos para ODEs y PDEs en redes estructuradas. Se enfoca en el orden empírico de convergencia (EOC), las compensaciones de precisión-costo y estabilidad, todo de manera reproducible, a través de múltiples semillas y configuraciones de hardware. Este artículo es una guía práctica: 10 pasos concretos, elecciones de herramientas, trampas a evitar y qué empaquetar para que tus gráficas de convergencia y Pareto sean confiables y comparables.

Aprenderás a: (1) elegir problemas representativos y verdades básicas; (2) alinear los solucionadores de referencia y las tolerancias con la física; (3) construir escaleras de refinamiento espacial, temporal y espectral; (4) implementar líneas de base clásicas para verificaciones de solidez; (5) configurar métodos aprendidos con regímenes de entrenamiento claros; (6) diseñar barridos y ablaciones controladas; (7) calcular errores y EOC de manera consistente; (8) perfilar costos y ensamblar fronteras de Pareto; (9) probar la estabilidad y la generalización; y (10) empaquetar artefactos para verificación externa. Las herramientas abarcan DifferentialEquations.jl, SUNDIALS, PETSc TS, FEniCS/deal.II, Clawpack, Dedalus, torchdiffeq/Diffrax, DeepXDE/NeuralPDE.jl, FNO/DeepONet/PINO, torchsde, PDEBench y JAX-CFD.

Detalles de Arquitectura/Implementación

Paso 1 — Seleccionar problemas representativos y definir la verdad básica

Mapea tu aplicación a familias canónicas: ODEs no rígidas o rígidas, PDEs elípticas estacionarias, ecuaciones parabólicas difusivas y transporte hiperbólico con choques. Fija dominios, coeficientes y condiciones iniciales/de frontera. Incluye casos suaves y desafíos conocidos (ej., capas rígidas, discontinuidades) y redacta especificaciones precisas en archivos de configuración para eliminar ambigüedades posteriores. Usa PDEBench y JAX-CFD donde sea relevante para estandarizar flujos periódicos y conjuntos de datos.

Ejemplos según el protocolo incluyen: oscilador armónico y Lorenz-63/96 (no rígido), Van der Pol (μ ≫ 1), Robertson, HIRES (rígido), Poisson/Darcy (elíptico), calor/Allen-Cahn/Cahn-Hilliard (parabólico), y advección/Burgers/agua poco profunda/Euler (hiperbólico) con fronteras de Dirichlet, Neumann y periódicas representadas.

Paso 2 — Establecer solucionadores de referencia y tolerancias

Elige métodos confiables alineados con la física: multistep implícito o de colocación para ODEs rígidas (ej., BDF/Radau/SDIRK vía SUNDIALS, DifferentialEquations.jl), FEM acelerado por multigrid para resoluciones elípticas (FEniCS o deal.II con HYPRE), esquemas de volumen finito estables para PDEs hiperbólicas (WENO + SSP Runge-Kutta en Clawpack), y pilas espectrales para flujos periódicos (Dedalus). Ejecuta referencias a tolerancias estrictas o resoluciones muy finas y archiva configuraciones de solucionadores: umbrales de resolución no lineal/lineal, precondicionadores y resoluciones de malla/tiempo.

Paso 3 — Construir escaleras de refinamiento

Para redes estructuradas, reduce a la mitad h en cada nivel espacial; para espectral, duplica modos con eliminación de aliasing consistente; para el tiempo, construye escaleras dt fijas para esquemas uniformes y escaleras de tolerancia para solucionadores adaptativos. Para integradores de PDE explícitos, escala dt con h para mantener un número de Courant estable; fija un tiempo final común para ODEs y PDEs dependientes del tiempo para garantizar comparaciones manzana con manzana. Para solucionadores de ODE adaptativos, usa escaleras de tolerancia (ej., 1e−2…1e−8), y registra tamaños de pasos realizados y cuentas.

Paso 4 — Implementar líneas de base clásicas

Antes de introducir aprendizaje, valida el entorno: Runge-Kutta explícito y pares adaptativos para ODEs no rígidas; BDF, Radau, y IMEX para ODEs rígidas; FEM/FV/FD o espectral para PDEs; WENO con integradores de tiempo SSP para problemas hiperbólicos. Verifica que las pendientes de convergencia en regímenes suaves coincidan con órdenes formales y degraden cerca de choques como predice la teoría.

Paso 5 — Configurar métodos aprendidos con regímenes de entrenamiento claros

• ODEs neuronales: define arquitecturas de campo vectorial, trayectorias de entrenamiento, y backend de integración (adaptativo/fijo), utilizando torchdiffeq o Diffrax.
• PINNs: especifica muestreo de colocación, imposición de fronteras y cuadratura mediante DeepXDE o NeuralPDE.jl.
• Operadores neuronales: establece resoluciones de entrada/salida, padding espectral, reglas de anti-aliasing y regularización física para FNO/DeepONet/PINO.
• Pseudopasos temporales aprendidos: diseña correcciones/fluxos entrenables consistentes con el esquema anfitrión.
• SDEs: elige objetivos fuertes/débiles y discretizaciones con torchsde. Documenta tamaños de modelos, regularización, optimizadores y planificadores en el mismo estilo de configuración usado para las líneas de base.

Paso 6 — Ejecutar barridos y ablaciones controladas

Estratifica por discretización (uniforme vs adaptativa, explícito vs implícito), régimen de datos (supervisado vs basado en física) y factores de modelo/entrenamiento (profundidad/ancho, ponderación residual, optimizador). Trata el presupuesto de entrenamiento como una variable de primer nivel—registra horas-GPU y reloj de pared. Aplica criterios consistentes de parada temprana en todas las corridas; considera currículo y descomposición de dominio para dimensiones superiores en configuraciones basadas en física.

Paso 7 — Medir errores con normas consistentes y calcular convergencia

Calcula errores en la misma malla que las referencias. Para PDEs, informa L2 y L∞ discretos (y versiones relativas cuando sea apropiado); para problemas parabólicos, incluye errores en el tiempo terminal y promedios en el tiempo; para hiperbólicos, complementa el EOC de régimen suave con error en el tiempo de choque y variación total. Para ODEs, incluye error de estado terminal y opcionalmente MSE de trayectoria en una malla de control. Estima EOC vía p̂ = log(E(h)/E(h/2))/log(2), con intervalos de confianza bootstrap a través de ≥5 semillas para solucionadores aprendidos.

Paso 8 — Perfilar costo y construir fronteras de Pareto

Descompone costo de entrenamiento vs inferencia. Usa perfiles de FLOPs/memoria consistentes (ptflops, fvcore) y sincronización con calentamientos. Para códigos clásicos adaptativos, registra pasos aceptados y iteraciones no lineales/lineales; para modelos aprendidos, registra FLOPs por pasada y memoria máxima. Grafica error versus costo con vistas separadas para solo inferencia y total (entrenamiento + inferencia). Agrega gráficas de precisión igualada para integradores adaptativos para aislar las virtudes de la adaptabilidad.

Paso 9 — Probar estabilidad y generalización

Despliega más allá de las ventanas de entrenamiento para sondar el comportamiento a largo plazo. Rastrea invariantes/deriva de energía para dinámicas Hamiltonianas y espectros de energía/enstrofía para flujos incompresibles. Para aprendices de operadores, evalúa en resoluciones más altas que el entrenamiento para mapear la generalización de resolución hasta que el error se sature. Varía fronteras (periódicas ↔ Dirichlet) para evaluar la sensibilidad de inserción BC. Confirma que las correcciones de pasos temporales aprendidos disminuyen bajo refinamiento para que el orden formal del esquema anfitrión sea recuperado.

Paso 10 — Empaquetar artefactos reproducibles y publicar diagnósticos

Consolida archivos de configuración, registros, comprobaciones entrenadas, salidas en bruto y metadatos por experimento (hardware, versiones de software, semillas, configuraciones exactas del solucionador). Cura gráficas de convergencia con pendientes y bandas de confianza, gráficos de Pareto de precisión-costo, y tableros de estabilidad. Proporciona un README corto por benchmark detallando definiciones de problemas e instrucciones para volver a ejecutar. Esto permite verificación externa y meta-análisis posteriores.

Tablas de Comparación

Pilas de herramientas por clase de ecuación

Clase de ecuación	Pila clásica (línea de base)	Pila aprendida (ejemplos)
ODEs no rígidas	RK explícito (fijo/adaptativo), DP/RK45 vía DifferentialEquations.jl/SciPy	ODEs neuronales con torchdiffeq/Diffrax
ODEs rígidas	BDF/Radau/SDIRK/IMEX vía SUNDIALS, OrdinaryDiffEq.jl	ODEs neuronales con integradores implícitos
PDEs elípticas	FEM (FEniCS/deal.II) con multigrid HYPRE	PINNs (DeepXDE/NeuralPDE.jl), DeepONet/FNO/PINO
PDEs parabólicas	PETSc TS (Euler retrasado, CN, BDF, IMEX), Dedalus para espectral	PINNs y operadores neuronales
PDEs hiperbólicas	Clawpack WENO + SSP-RK	Variantes de PINNs, FNO/PINO (cuidado con choques)
Flujos periódicos	Dedalus espectral; referencias JAX-CFD	FNO/DeepONet/PINO
SDEs	Baselines Euler–Maruyama/Milstein (dependiente del esquema)	torchsde con objetivos fuertes/débiles

Fortalezas y riesgos por familia de solucionadores (para benchmarking)

Familia de solucionadores	Fortalezas (por protocolo)	Riesgos comunes
ODE/PDE clásicas	Órdenes formales en regímenes suaves; estabilidad robusta	Costo por consulta más alto que los sustitutos neuronales (métricas específicas no disponibles)
ODEs neuronales	Modelado en tiempo continuo; integración adaptativa	Rigidez sin backends implícitos; error de modelo puede limitar EOC
PINNs	Buen rendimiento en problemas elípticos/difusivos suaves con ponderación adecuada	Modos de falla en sistemas rígidos/hiperbólicos a menos que se estabilicen
Operadores neuronales	Fuerte generalización de resolución; inferencia rápida en dominios periódicos	Sensible a anti-aliasing/padding y inserciones BC
Pasos temporales aprendidos	Pueden acercarse al orden de esquema anfitrión si son consistentes	Riesgos de deriva a largo plazo y fuera de distribución
SDEs neuronales	Orden fuerte/débil vinculado a discretización; estadísticas eficientes	La estabilidad del entrenamiento necesita reducción de varianza (detalles específicos no proporcionados)

Mejores prácticas

• Estandariza fronteras y padding: En problemas periódicos y tuberías de aprendizaje de operadores, asegura un padding espectral y eliminación de aliasing consistentes para evitar ganancias artificiales.
• Mantén CFL consistente: Para integradores de PDE explícitos, escala dt con h; de lo contrario, tu estudio de refinamiento mezcla precisión con efectos de estabilidad.
• Alinea tolerancias: Para sistemas rígidos, usa tolerancias implícitas coincidentes en entrenamiento y evaluación; los desajustes pueden crear mesetas de EOC engañosas.
• Verifica solidez clásica primero: Confirma órdenes de línea de base en regímenes suaves antes de introducir modelos aprendidos; la degradación cerca de choques debería alinearse con la teoría.
• Reporta tanto costo de solo inferencia como costo total: Los sustitutos neuronales brillan en regímenes de alta inferencia, pero el entrenamiento puede dominar el costo total; grafica ambas vistas de Pareto.
• Usa semillas y CIs consistentes: Ejecuta ≥5 semillas para métodos aprendidos y intervalos de confianza bootstrap; repite corridas clásicas adaptativas para contabilizar la aleatoriedad del solucionador y la variabilidad de programación.
• Documenta todo: Definiciones de problemas, discretizaciones, umbrales de solucionador, precondicionadores, tamaños de modelos, optimizadores, horarios, hardware, versiones de software y semillas aleatorias pertenecen a tus configuraciones y README.

Lista de verificación de calidad antes del lanzamiento:

• Líneas de base coinciden con órdenes esperados en regímenes suaves.
• Ajustes de convergencia de modelo aprendido incluyen ≥3 niveles de refinamiento con CIs.
• Posiciones de Pareto validadas bajo costo de solo inferencia y total.
• Estabilidad a largo plazo validada con diagnósticos relevantes para la física (ej., espectros, enstrofía).
• Subconjunto reproducido en una segunda máquina o en la nube (pasos específicos de hardware no prescritos).

Trampas y salvaguardias:

• Desaliasing/padding inconsistente en tuberías de aprendizaje espectral/de operadores → estandariza configuraciones.
• CFL no constante durante el refinamiento → desvincula estabilidad de precisión.
• Pérdidas residuales vs de frontera no balanceadas en PINNs → considera ponderación adaptativa/currículum.
• Desajustes de tolerancia entre entrenamiento/evaluación en sistemas rígidos → alinea o reporta ambos.
• Ganancias aparentes que desaparecen a resoluciones más altas o entre semillas → verifica robustez con refinamiento y múltiples semillas.

Ejemplos Prácticos

El protocolo incluye configuraciones trabajadas que puedes replicar de principio a fin:

• Lorenz-63 (ODE no rígido): Establece T=10 con refinamiento de paso fijo dt de 1e−2 a 1.25e−3 y una escalera de tolerancia para RK45 adaptativo. Genera una referencia de alta precisión con un solucionador de alto orden o tolerancia ajustada. Entrena una ODE neuronal en trayectorias y, en cada dt/tolerancia, calcula errores MSE de estado terminal y trayectoria, EOC y conteos de pasos. Reporta tiempo de pared de inferencia, FLOPs por paso y memoria; ejecuta ≥5 semillas y utiliza CIs bootstrap.

• Van der Pol (μ=1000, ODE rígido): Usa referencias BDF/Radau con tolerancias ajustadas vía SUNDIALS o DifferentialEquations.jl. Compara contra ODEs neuronales integradas por solucionadores implícitos (ej., BDF en Diffrax). Barrido de tolerancias e informe de EOC en error de estado terminal; incluye cuentas de iteración no lineal e indicadores de rigidez disponibles.

• Poisson 2D (elíptico): Elige una solución fabricada sobre [0,1]² con casos de Dirichlet y Neumann. Ejecuta FEM (p=1/2) con reducción a la mitad de h y preacondicionamiento multigrid (HYPRE). Entrena variantes de DeepONet y PINN. Calcula errores L2/L∞ vs h y EOC; para PINNs, aumenta densidad de colocación y precisión de cuadratura; para operadores, evalúa error vs resolución de evaluación hasta saturación.

• Burgers 1D (hiperbólico): Ejecuta un caso de régimen suave y un caso de formación de choques con BCs periódicos. Usa líneas de base WENO5 + SSP-RK vía Clawpack y calcula EOC en ventanas suaves; mide error de tiempo de choque y variación total. Evalúa FNO/PINO y PINNs para dispersión/artifactos de Gibbs, aplica consistentemente anti-aliasing y padding, e informa tasas de estabilidad/falla (tasas específicas no disponibles).

• Navier–Stokes 2D en un toro: Sigue configuraciones FNO/PDEBench; entrena a 64² y prueba a 128², 256². Informa escalado de error, deriva a largo plazo, espectros de energía y enstrofía en relación con referencias JAX-CFD.

• Darcy 2D con BCs mixtos: Genera campos de permeabilidad paramétricos; ejecuta líneas de base FEM y entrena DeepONet/FNO en divisiones de PDEBench. Evalúa generalización de resolución y cambios de parámetro; reporta L2/L∞ y EOC bajo reducción a la mitad de h.

Estos ejemplos ejercen todos los componentes del protocolo—escaleras de refinamiento, selección de solucionadores, configuración de modelos aprendidos, medición, perfilado de costos y diagnósticos de estabilidad—manteniéndose dentro de pilas ampliamente utilizadas que la comunidad reconoce y puede reproducir.

Conclusión

Las comparaciones de convergencia reproducibles y Pareto justas no ocurren por accidente; son el producto de una selección de problemas disciplinada, numéricos de grado de referencia, refinamiento estandarizado, normas de error consistentes y contabilidad de costos meticulosa. El enfoque DInf-Grid codifica esto para ODEs y PDEs en redes estructuradas y proporciona un escenario común en el que los solucionadores clásicos y aprendidos pueden medirse con confianza. Con el libro de jugadas de 10 pasos anterior—fundado en bibliotecas numéricas maduras y conjuntos de herramientas de ML ampliamente adoptados—puedes construir benchmarks que resistan el escrutinio y realmente informen sobre la selección de solucionadores.

Puntos clave:

• Usa solucionadores de referencia apropiados para la física y documenta cada tolerancia, preacondicionador y resolución de malla/tiempo.
• Construye escaleras de refinamiento y calcula EOC con normas y intervalos de confianza consistentes.
• Separa costo de solo inferencia del total (entrenamiento + inferencia) y grafica ambas vistas de Pareto.
• Prueba de resistencia para horizontes largos y generalización de resolución, especialmente en flujos periódicos y aprendices de operadores.
• Empaqueta artefactos completos—configs, registros, puntos de control, salidas brutas—para verificación externa.

Próximos pasos: comienza con un problema por familia de ecuaciones relevante para tu aplicación; valida líneas de base clásicas y EOC primero; luego introduce modelos aprendidos con regímenes de entrenamiento claros y ablaciones controladas. Una vez que tus gráficos de convergencia y Pareto sobrevivan a verificaciones de mayor resolución y múltiples semillas, publica el conjunto de artefactos completo con un README conciso e instrucciones para volver a ejecutar. Así es como tus ejecuciones de DInf-Grid serán tanto útiles como confiables. ✅

Fuentes y Referencias